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Resúmenes/Abstracts

En esta página encontrará los títulos y resúmenes de las charlas y cursos.

Álgebras de Hopf casi involutivas de dimensión baja

Las álgebras de Hopf casi involutivas son álgebras de Hopf que admiten un tipo particular de automorfismo. Estas fueron introducidas en 2016 en un artículo en conjunto con Walter Ferrer, inspiradas en las propiedades de los grupos cuánticos compactos. En el mismo se describen algunos ejemplos que muestran que no todas las álgebras de Hopf de dimensión finita son casi involutivas. El objetivo de esta charla es mostrar la completa clasicación de las álgebras de Hopf de dimensión menor que 24 (la menor dimensión para la cual todavía no se conoce su clasificación), en términos de ser casi involutivas. Para hacerlo repasaremos primero la lista de estas álgebras, mostrando que las no semisimples se pueden obtener mediante cocientes de extensiones de Hopf-Ore. Luego la clasificación se deduce con la ayuda de ciertos resultados sobre la casi involutoriedad en extensiones de Hopf-Ore. Este es un trabajo conjunto con Daiane Freitas y Andrea Morgado.

Representaciones del super plano de Jordan y su bosonización

En esta charla presentaremos resultados sobre la teoría de representaciones del álgebra super plano de Jordan y de su bosonización. En particular, mostraremos que las representaciones irreducibles del super plano de Jordan son de dimensión 1.

Subálgebras de Lie de los operadores pseudo diferenciales matriciales cuánticos

Caracterizaremos los módulos de peso máximo cuasifinitos de algunas subálgebras de Lie de operadores pseudo diferenciales matriciales cuánticos.

Hopf Structures for the Lazy Mathematician

What does the prefix 'Hopf' mean? If a bialgebra A is Hopf, it is well known that its category of finite dimensional representations has duals in the monoidal sense (it is rigid), but the converse is false because A may have too few finite dimensional modules. One can avoid this problem by considering comodules, but avoiding the problem doesn't make it disappear. There is a better characterization in terms of internal Homs: A is Hopf if and only if the forgetful functor U: Mod(A) -> Vect is monoidal closed, that is, it preserves internal Homs. However, for quasi- Hopf algebras, the forgetful functor U is no longer monoidal closed. I will discuss what it means to preserve internal Homs, and in particular I will introduce a notion of slack closeness which is adapted to this situation. This surprizingly weak and almost naïve notion, which can be formulated in so-called magmoidal categories (with an arbitrary functorial law), and even in the absence of internal Homs, leads naturally to the notion of a slack Hopf magmoidal monad and sheds a new light on the notion of antipode. In particular for quasi-Hopf algebras, the 'Hopfitude' and the 'quasitude' turn out to be independent properties, although they seem intertwined in Drinfeld's axioms.
In Spanish with English subtitles. Based on joint work with Mariana Haim and Ignacio López Franco.

Deformaciones de álgebras de Sridharan

En este trabajo calculamos la cohomología de Hochschild de las álgebras de Sridharan de dimensión 3, las estructuras de álgebra asociativa y de álgebra de Lie de la cohomología y estudiamos las deformaciones de Gerstenhaber de dichas álgebras.

Rango estable de álgebras down-up

Presentamos algunos resultados relacionados con módulos proyectivos finitamente generados sobre un álgebra down-up. Específicamente, mostramos que toda álgebra down-up noetheriana A(α, β, γ) tiene un ideal derecho establemente libre no trivial. Adicionalmente, calculamos el rango estable de estas álgebras usando el Teorema de rango estable de Stafford y la dimensión Kmax de un anillo.

Nuevas álgebras de Hopf vía método del levante generalizado

El método del levante [AS] es una técnica general para se clasificar álgebras de Hopf. Pero este método solo funciona bajo la hipótesis de que el corradical es una subálgebra de Hopf. Recientemente, Andruskiewitsch y Cuadra [AC] propusieron extender esta técnica considerando la subálgebra generada por el corradical y la filtración relacionada fue llamada de filtración estándar. Usando la filtración estándar asociada a un método del levante generalizado, mostraremos cómo determinar álgebras de Hopf de dimensión finita cuyo corradical genera la menor álgebra de Hopf K cuyo corradical no es una subálgebra de Hopf. Como consecuencia, se obtienen nuevas álgebras de Hopf de dimensión 64 y nuevas álgebras de Nichols de dimensión 8. Esta charla se basa en un trabajo conjunto con G. A. García [GGi].

Referencias

[AC] N. Andruskiewitsch and J. Cuadra, On the structure of (co-Frobenius) Hopf algebras, J. Noncommutative Geometry 7 (2013), Issue 1, pp. 83-104.
[AS] N. Andruskiewitsch and H-J. Schneider, Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras, pp. 1-68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
[GGi] G. A. García and J. M. J. Giraldi, On Hopf Algebras over quantum subgroups, Preprint: arXiv:1605.03995.

Deformaciones de álgebras de operadores diferenciales asociadas a arreglos de hiperplanos

A un arreglo central de hiperplanos A en un espacio vectorial V de dimensión finita se le asocia clásicamente el álgebra de Lie DerA de las derivaciones del álgebra de coordenadas S(V) de V que preservan cada uno de los hiperplanos de A. Esta construcción es importante ya que el álgebra de Lie DerA resulta ser un invariante muy útil de A que está íntimamente relacionado con la geometría y la combinatoria del arreglo y de su complemento. En este trabajo consideramos el álgebra asociativa D(A) que DerA genera junto con S(V) dentro de End(S(V)). Calculamos la cohomologia de Hochschild de D(A), encontrando un conjunto irredundante de representantes y también el producto cup y el de Gerstenhaber. Con esta información, estudiamos las deformaciones de D(A). Daremos ejemplos de 2-cociclos que se integran a diferentes ordenes, que se integran completamente y que no se integran.

Álgebra como topología

En este curso de tres horas cubriremos aspectos de la interrelación entre los reticulados y los espacios topológicos, culminando con el teorema de dualidad entre álgebras de Boole y espacios topológicos de Stone. La exposición sera categórica en carácter, siguiendo principalmente el libro Stone Spaces de P. T. Johnstone.

Presentaciones de grupos asociadas a LOTs (árboles orientados y etiquetados) y una conjetura de asfericidad

Es sabido que el complemento de un nudo en la esfera 3-dimensional es asférico (es decir, su revestimiento universal es contráctil). Este resultado fue probado por Papakyriakopoulos en la década del 50. Se conjetura que esto mismo vale también, en forma más general, para ciertas variedades de dimensión 4 que son complementos de "ribbon discs". Análogamente a lo que ocurre en el caso de los nudos, donde la información del tipo homotópico del complemento se puede codificar mediante la presentación de Wirtinger del grupo del nudo, la topología de los complementos de ribbon discs se puede analizar mediante presentaciones asociadas a LOTs. Estas presentaciones generalizan la presentación de Wirtinger de los nudos y son consideradas "casos testigos" para el estudio de la conjetura de asfericidad de Whitehead. En esta charla voy a explicar los ingredientes básicos de la conjetura de asfericidad de LOTs, mostraré varios ejemplos que sirven para entender estos objetos y detallaré algunos de los avances más importantes que se realizaron a lo largo de los últimos 30 años. Por último contaré algunos resultados obtenidos en los últimos tiempos por integrantes de nuestro grupo de topología, incluyendo un test de asfericidad para LOTs, que nos permiten seguir avanzando en el estudio de este problema.

2-categorías y categorías tensoriales

Presentaremos la definición de 2-categorías, los principales ejemplos y algunas construcciones básicas. También discutiremos su relación con la teoría de categorías monoidales y su utilidad.

Una conjetura de P. Webb y fusión en los posets de p-subgrupos.

En 1987, P. Webb conjeturó que el espacio topológico |K(Sp(G))|/G (el espacio de órbitas de la realización geométrica del complejo simplicial asociado a Sp(G) ) es contráctil. El poset Sp(G) consiste de los p-subgrupos no triviales de un grupo finito G, con p un primo que divide al orden de G, y la acción es la de conjugación. En 1996. P. Symonds probó la validez de esta conjetura: hay un subcomplejo G-invariante y G-homotópicamente equivalente a |K(Sp(G))| cuyo espacio de órbitas es simplemente conexo y acíclico, y por lo tanto contráctil. Más adelante aparecieron otras demostraciones de la conjetura que utilizan diferentes herramientas (topológicas, geométricas y algebraicas), como la de KU. Bux en 1999 mediante teoría de Morse y el subcomplejo de Symonds, o la de A. Libman en 2008 que la generaliza para espacios de órbitas que surgen de ciertas categorías de fusión de p-grupos. No es difícil ver que la conjetura original de Webb es equivalente a que el espacio topológico finito Ap(G)'/G sea homotópicamente trivial. Ap(G)'/G es el poset de órbitas del poset de cadenas de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de G. En todos los ejemplos testeados este espacio resulta además contráctil, que en el contexto de espacios finitos es estrictamente más fuerte que ser homotópicamente trivial. Esto hace pensar que en realidad podría valer una versión más fuerte de la conjetura de Webb. Mostraré en la charla cómo se puede estudiar la versión fuerte de la conjetura utilizando técnicas algebraicas y combinatorias, con un enfoque distinto a las demostraciones conocidas de la versión original. Veremos algunos casos donde la versión fuerte se puede probar y compararemos nuestro enfoque con los enfoques tradicionales.

Invariantes homológicos del super plano de Jordan y su relación con el álgebra de Virasoro

Las álgebras de Nichols son una herramienta importante para la clasificación de las álgebras de Hopf. En este trabajo estudiamos invariantes homológicos del super plano de Jordan, es decir, el álgebra de Nichols de dimension de Gelfand-Kirillov finita A = B (V(-1,2)). Los invariantes estudiados son la homología de Hochschild, la cohomología de Hochschild y su estructura de álgebra, la estructura de álgebra de Lie del primer espacio de cohomología - que resulta ser una subálgebra del álgebra de Virasoro - y sus representaciones H^{n}(A, A) y el álgebra de Yoneda. Probamos que el álgebra de Yoneda de la bosonización A#kZ de A es finitamente generada.

Levantamiento de límites en teoría de mónadas 2-dimensional

Una cuestión relevante para la teoría de mónadas y sus álgebras es el levantamiento de límites a lo largo del funtor de olvido. En el artículo que presentaré [1] se obtiene un resultado de este tipo en el contexto 2-dimensional de esta teoría [2]. Las nociones más relevantes de morfismo de álgebra en este contexto son las nociones de pseudomorfismo y lax morfismo, para las cuales se tienen resultados previos de levantamiento de límites en [2] y [3]. En [1] se considera la noción de un lax morfismo cuya 2-cell estructural pertenece a una familia prefijada K de 2-cells, y se demuestra un teorema del que se deducen los resultados de [2] y [3] al considerar elecciones particulares de K. La noción clave que se introduce y que permite enunciar y probar nuestro resultado es la compatibilidad del límite a levantar con respecto a la familia K. En la charla explicaré estos conceptos sin asumir familiaridad de la audiencia con la teoría de mónadas 2-dimensional.

[1] Szyld M., A general limit lifting theorem for 2-dimensional monad theory, J. Pure Appl. Alg. (2017), DOI:10.1016/j.jpaa.2017.09.018.
[2] Blackwell R., Kelly G. M., Power A.J., Two-dimensional monad theory, J. Pure Appl. Alg. 59 (1989).
[3] Lack S., Limits for lax morphisms, Appl. Cat. Structures 13 (2005).